Differentio - quid est hoc? Quam differentiam invenire munus?

Una cum principiata sua munera differentio - it basic conceptus quidam in calculo differentiali methodus, pelagus sectionem mathematicae Analysis. Obstrictius ut ambo late aliquot saeculis orta problemata solvenda tractu fere technica scientiarum.

Cessum conceptum differentialium

Primum ostendit differentiam talem de auctoribus (cum Isaakom Nyutonom) calculus nobilis mathematicus Germania Gotfridus Vilgelm Leybnits. Ante 17th century, qui mathematici. usus est valde incerta et obscura idea est de infinite parva 'individuum' munus ab omnibus nota, per quae significatur, sed ipsius valorem non constant parvis nulla par, inferius in qua scilicet valores non solum munus. Hinc tantum munus gradus incrementa infinitorum ratio inducta rationibus incrementa propriis operibus hoc possunt derivationes exprimantur. Atque haec fere eodem tempore ad gradum sublatus supra duo magna scientists.

Ex ex necessitate to address urgente practical mechanica problems ut iudicio contendam adversum scientia cursim intende post-Sales et ars, quae Neutonus Leibniz creatum in communi via inveniendi munera rate de mutatione (praesertim quod attinet ad mechanica celeritas corporis in notum iter), quae ducitur ad introductio unctionem aliquam talium conceptuum, quod munus, et inde est differentiale, problematis inversi algorithm est etiam invenitur per se notum quod solutions (variabilis) ut semita speeds decedit Olympo, quae ducitur ad conceptum de integralis Alaricus.

In hoc apparuit primo ideam Newtoni opera itidem et quae his differentialibus locoque - proportionalem esse vi incrementum celeritatis incrementa Δh basic rationes feliciter applicari potest computare Δu munera ejus. In aliis verbis, quod qui inventus qui incrementum munus sit in qualibet parte (in illo ex definitione), est expressit per cognitiones illius et Δu = y '(x) Δh + αΔh ubi α Δh - residuum, quod tendit in nulla sicut Δh → 0, multo citius quam ipsa Δh.

Providerant conditores ex diversitate secundum mathematicae Analysis, his differentialibus locoque - prorsus est primus terminus, in incrementi cujusvis munera. Etiam sine aliqua certa conceptu terminus sequentia intuenti intellexerunt quia differentiali valorem inde tendit cum function Δh → 0 - Δu / Δh → y '(x).

Secus NEUTONUS, qui est naturalis et mathematica est instrumentum considerandum est an praesertim studiis instrumentum ad auxilia physical problems, huic operam toolkit ultra mercedem Guilielmus Leibnitius, a comprehendo ratio ex mathematicis figuris values visual quod capi queat. Qui fuit propositus est vexillum, eaque munus differentialibus dy y '(x) dx, dy et inde de munus argument ut relatione y' (x) = y / y.

Unde nostri temporis definitio

Quid sit differentialis, in terms of modern mathematica? Propinqua ratio incrementi est variabilis. Si autem y variabilis y valorem accipit a primo _I = _y, erit y = y _{II, II} ─ quid sit y y valorem y Incrementum _I dicitur. Incrementum positivum esse potest. et nulla negans. Verbum "incrementi" significatur Δ, Δu recording (read 'gamma y') pro y valorem incrementi. Δu = y y _I et _{II ─.}

Si valorem Δu functiones arbitrarias ipsius y = f (x) repraesentari possunt Δu = A Δh + α ubi A est natura pendere proindeque Δh, T. * E. A = const datis x et terminum α, cum Δh → 0 tendit non quidem citius quam in ipsa Δh ergo primo ( "magister") est terminus Δh proportionalem, et pro y = f (x) differentiale, quod est DF dx et (x) (read 'de y': 'a X de EFF "). Ergo differentio - a 'pelagus' et quantum ad lineae partium incrementis fallenter Δh munera.

mechanica explicandum

Ne fit s = f (t) - spatium in linea recta movere materiam iam ex statu initiali (T - tempus peregrinatione). Incrementum δs - hoc enim modo puncto per temporis spatium Δt, ejusque differentialis ds = f '(T) Δt - hoc iter, quod punctus esset tenendum est simul Δt, si retinuit celeritas f' (T), perventum est ad tempus T . Cum ab ipso id δs infinities infinite Δt DS imaginaria habet respectu superioris Δt. Quod si ad tempus t celeritas est nulla, ut par est, proximus dat valorem ds loco parvum pondus.

geometricae interpretatione

Fiat aequalis recta in graph est y = f (x). Tum x = Δ; aliudque adhuc Δu = QM '(see. Figura infra). Tangente Mn Δu erumpit in duabus partibus diuidatur, QN, et NM. Primum et secundum MQ Δh proportionalem QN = ± tg (angle QMN) Δh = f '(x) T. QN, E differentiali dx.

In secunda pars illorum in quo excedunt Δu NM'daet ─ y, longitudo cum Δh → 0 M, diminuat etiam citius quam incrementum celeritatis ratio, id quod est altius quam ordo parvitatem Δh. In hoc casu, si f '(x) ≠ 0 (non-parallel tangens Oi) segments QM'i QN equivalent; In aliis verbis M, diminuat cursim (altior ordo parvitatem ejus) Δu = QM, quam summa Rigidorum VOL. Sicut patet in figura (appropinquare omni parte minore percentage QM pertingent NM'sostavlyaet M'k M 'segmentum).

Ita, quod graphice differentiales functiones arbitrarias ipsius ordinatae aequale sit ejusdem incremento tangentis.

Secundario et quasi differentiali

A elementum celeritatis incrementum munus est primus terminus, expression inde est aequalis ad valorem f '(x). Sic et sequenti relatione - dx = f '(x) seu Δh df (x) f' (x) Δh.

Notum est quod celeritatis incrementum sit aequalis ratio iuris eius differentiale = dx Δh. Et secundum hoc, possumus scribe: f '(x) dx = dy.

Inveniens (ut nunc dictum est: "consilium") quae a differentialibus eiusdem praecepta ut in suis principiatis. A list ex eis datum est infra.

Quod enim est universalius, seu incrementum celeritatis ratio ad differentiale

Hic sit necesse est, ut nonnullis explanationibus indigent. Representation valorem f '(x) x differentiale Δh fieri potest, ut dum considerat rationem. Sed non potest esse munus universa, in quibus x ad munus argument potest esse T. Tum ex repraesentatione `expressio differentiales f '(x) Δh, ut a regula, est impossibile; nisi in casu x = a + b pendere linearibus.

Ut ad eam formulam efficiatur f '(x) dx = dy, tum iuris ratio est in casu x (x = tum Δh) apud T ad modularem pendentia ipsius x, differentialium est.

Exempli gratia, in II expressio x = y et x sit Δh ^II x cum suo differentiali est ratio. Nunc habemus ^II T = x ac ponatur T ratio. ^II T = x et y = ^IV.

Hoc sequitur (T + Δt) ^{II II} T = + + 2tΔt Δt ^II. Unde Δh 2tΔt = + Δt ^II. Ad primum ergo dicendum 2xΔh ^II = 2s (+ 2tΔt Δt ^II).

Locutio non Δt proportionales, ideoque non iam 2xΔh differentiali. Potest invenitur ex aequatione y = x = T ^{II IV.} Est aequalis dy = 4t, durare ^III Δt.

Si accipere 2xdx expressio, est ulla ratio ad differentiale y = x T ^II. Immo, si x = T dx 2tΔt obtain ^II.

Sic 2xdx = 2s = 4t, durare ^III .DELTA.t 2tΔt ^II, T. E. Est expressio diversis variables duo per differentias memoriae simul.

Variationum differentialium repositoque

Si f '(x) ≠ 0, tum Δu equivalent dx et (→ cum Δh 0); Si f '(x) = 0 (0 et dy = significatio), illi non convertuntur.

Eg si x = y ^II, deinde Δu = (x + Δh) = ^{II II} ─ 2xΔh x + dx = 2xΔh et Δh ^II. Si x = III, tunc habemus Δu = 6Δh et dy = + ^II Δh 6Δh qui sunt ex equivalent Δh ^II → 0, 0 =, ubi x valorem Δu = 0 et dy = ^II Δh non convertuntur.

Haec quidem una cum simplex structuram differentialis (m. J. apud Linearity quantum ad Δh), est plerumque usus est in proximus ante rationem est, in assumptione ad parvum dx Δu ≈ Δh. Reperio differentiale munus plerumque facilius quam computare exigere definiente valorem incrementi.

Eg metallo habemus in lato ore = x 10.00 cm. Longi temporis in ore gladii ad torridam incendio Δh = 0.001 cm. Quam volumen cubicum V auctus? Habemus ^II V = ^x, ita ut dV = 3x ^II = III Δh ∙ ∙ February ^X = 0/01 III ^{(III cm).} Auctus ΔV equivalent differentialibus dV, ut ΔV = III ^{III cm. III} plena calculation daturum ΔV = ^X = 3.003001 10,01 ─ Martii. Sed prius ex tot digitorum quam mali; ergo necesse est, usque ad circum ad III cm ^III.

Uti patet, hoc accessus tantum utilis est ad valorem estimate potest communicari per errorem.

Diversus munus: exempla

Sit scriptor experiri ut eius differentiale functionis y = x ^III, inde invenire. Venite dat incrementum celeritatis ratio Δu et definias.

Δu = (Δh + x) ─ ^{III III} x = 3x + Δh ^{II (III} + Δh 3xΔh ^II).

Hic coefficientis A non pendet Δh ^II = 3x, ut primus terminus Δh proportionalem, alterum membrum 3xΔh Δh ^{II III} + 0 decrescit, ubi Δh → citius quam incrementum celeritatis ratio. Et ideo membrum est 3x differentialem y = x sit Δh ^{II III:}

dy seu dy = 3x ^{II II} Δh 3x = d ^{(III x)} dx = 3x ^II.

In quibus d (x ^III) / x = 3a ^II.

Nos autem dx y = invenire munus I / x inde in. Tunc d (I / x) / ─1 = x / x ^II. Ergo aequatio ─ Δh / x ^II.

Sub data differentialium sunt basic functionibus algebraicis accenseri queant.

Proximus calculo differentiali usura

Perpendere consectaria quae ad munus f (x) et inde f '(x) x = a, est saepe difficile ad perficere autem idem est e regione x = a, non est facile. Fiunt ope expressio

f (a + Δh) ≈ f '(a) Δh + f (a).

Haec vero proximus ipsius dat incrementum parva et ad munus eius differentiale per Δh f '(a) Δh.

Igitur ista expressio dat functionem portionis termino Δh longitudinem quasi pars summa pretium initium (= a) differentialis eiusdem principium. Sagaciter ad modum ad determinandum munus et infra illustrat, quae in Asia Cn.

Sed nota, et figura expressio ad valorem x = a + Δh ad munus a forma finita Incrementis (vel, e contra, Lagrange scriptor formula)

f (a + Δh) ≈ f '(ξ) Δh + f (a),

ubi punctum x = a + ξ = x ab a usque ad x in intervalla = a + Δh, etsi fortuna, cum amicae est ignotum. Ad tertium formam concedit perpendere consectaria quae ab errore proximus mathML formula. Ponamus in formula Lagrange Δh = ξ / II, cum desinit accurate tribuit, plerumque melius quam originale dicitur secundum differentiam accessus.

Applicando formulas differentiales per errorem iudicium

Vasa mensuræ in principle, parum diligens est, et data est measurement correspondentes in errore. Limitando eorum sunt propria et absoluta errorem, vel denique terminus ab errore - affirmativa, scilicet quod excedit valorem absolutum per errorem (vel maxime aequalis est). Terminus relativus errorem dicitur quotientem qui oritur applicando eam ad valorem absolutum et metiri valorem.

Ne prorsus formulae y = f (x) munus ad vychislyaeniya y, sed etiam mensura ipsius x valore effectus: ergo una tribu et y errore. Deinde ut in errorem liberum absolutum │Δu│funktsii y, adhibita formula

│ │Δu│≈│dy│ = f '(x) ││Δh│,

│Δh│yavlyaetsya margine errorem in quo ratio. │Δu│ quantitas est dies congruerent sursum, impropria calculi differentialis in ipsa ratione incrementi tortor.